Vad är 3 5 gånger 3 5
Potenser
Potenser kallas allmänt då man beräknar på grund av “upphöjt till“.
Miniräknarens konstanter.Potenser samt potenslagarna existerar många användbara sätt för att uttrycka matematik likt annars skulle bli många besvärlig för att studera samt nedteckna. Man förmå yttra för att potenser existerar till multiplikationen, vad multiplikationen existerar till additionen. detta önskar yttra, multiplikation är kapabel ses liksom upprepad addition, samt vid identisk sätt kunna potensräkning ses vilket enstaka förkortning på grund av upprepad multiplikation.
inom fysiken förekommer detta ofta vid bas från för att detta existerar extrema storleksskillnader mellan volymen vid en äpple samt ett planet. inom matematiken brukar oss ej blanda äpplen samt planeter, dock oss behöver ändå ofta räkna tillsammans med stora anförande, samt stora multiplikationer, vilket snabbt blir många otympligt ifall man ej kontrollerar eller är skicklig i potensräkning.
Tidigare besitter oss vilket hastigast stött vid begreppet potenser, då oss lärde oss angående räkneordning.
Miniräknare.inom detta på denna plats avsnittet bör oss vandra igenom begreppet potenser samt dem räknelagar liksom oss använder då oss beräknar tillsammans potenser.
Potens, bas samt exponent
Ibland förmå man äga matematiska formulering var man upprepar identisk matematiska räkneoperationer flera gånger ifall. inom sådana lägen är kapabel detta artikel god för att behärska nedteckna detta vid en mer kompakt sätt, samtidigt liksom betydelsen från formulering bevaras.
Till modell kunna man titta multiplikation vilket en mer kompakt sätt för att uttrycka upprepad addition.
$$5+5+5+5$$
kan oss ju istället nedteckna som
$$5\cdot 4$$
vilket existerar enklare.
Det finns ett liknande genväg då detta gäller multiplikation:
$$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$$
kan oss istället notera som
$$5^4$$
vilket utläses vilket "fem upphöjt mot fyra" samt betyder just talet \(5\) gånger sig självt fyra gånger.
vid datorer samt miniräknare används tecknet ^ till för att företräda potenser: \(5\)^\(4\).
Ett anförande skrivet vid den denna plats formen kallas till en potens. inom uttrycket \(5^4\) kallas siffran \(5\) på grund av bas samt siffran \(4\) till exponent.
$$bas^{exponent}=potens$$
Det finns en antal potenslagar liksom existerar utmärkt för att anlända minnas samt likt talar ifall på grund av oss hur oss bör räkna tillsammans med potenser.
Vad förmå man räkna ut tillsammans med ett miniräknare?Multiplikation från potenser tillsammans identisk bas
Om oss äger numeriskt värde potenser tillsammans med identisk bas samt bör multiplicera dessa potenser, då kunna oss nedteckna detta såsom inom nästa exempel:
$$ \\ {5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5={5}^{{}^{6}}$$
Detta förmå även skrivas
$${5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}={5}^{{}^{2+4}}={5}^{{}^{6}}$$
Eftersom på grund av något anförande, liksom oss kallar a, gäller alltså att
$$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^6$$
Vilket uttrycks allmänt som
$$ a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$$
I mening säger oss för att nära multiplikation från potenser adderas exponenterna ifall potenserna besitter gemensam bas.
Division från potenser tillsammans med identisk bas
På motsvarande sätt liksom nära multiplikation från potenser tillsammans med identisk bas, förmå man notera enstaka division från numeriskt värde potenser tillsammans med identisk bas vilket inom nästa exempel:
$$\frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{1}={3}^{{}^{3}} $$
Man förmå även notera detta som
$$ \frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}={3}^{{}^{6-3}}={3}^{{}^{3}} $$
och allmänt som
$$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$
$$\text{där}\;a \neq 0 $$
I mening säger oss för att nära division från potenser subtraheras exponenterna ifall potenserna besitter gemensam bas.
Potens från enstaka potens
Har oss en potensuttryck samt bör beräkna potensen från detta, då får oss ett uppställning såsom är kapabel titta ut vilket inom detta på denna plats exemplet:
$$ (11^3)^4=11^3\cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3$$
Om oss tillämpar regeln ifall multiplikation från potenser tillsammans med identisk bas, liksom oss kom fram mot tidigare inom detta denna plats avsnittet, upprepade gånger, då får vi
$$ 11^3 \cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$
Vi vet att
$$3+3+3+3=3\cdot4=12$$
Därför gäller
$$ (11^3)^4=11^{3\cdot \, 4}=11^{12} $$
Allmänt blir detta
$$ (a^x)^y = a^{x \cdot \, y}$$
Potens från enstaka produkt
Vi förmå även äga potensuttryck vilket besitter mer komplicerade baser.
Anta mot modell för att basen utgörs från enstaka vara, således här
$$(5x)^2$$
där \(x\) existerar något okänt tal.
Hur fullfölja man då?
Eftersom både \(5\):an samt \(x\):et existerar upphöjt mot \(2\) är kapabel oss istället nedteckna uttrycket som
$$(5x)^2=(5x)\cdot(5x)=5^2\cdot x^2=25x^2$$
Allmänt gäller att
$${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$$
Potens från ett kvot
På en liknande sätt vilket inom fallet ovan, var basen inom ett potens utgjordes från ett vara, är kapabel man beräkna enstaka potens från enstaka kvot.
inom dessa fall kunna oss äga en potensuttryck liknande nästa exempel:
$$\left ( \frac{2x}{3} \right ) ^3$$
Här utgörs potensens bas från kvoten \(\frac{2x}{3}\), medan potensens exponent existerar lika tillsammans 3.
Denna potens förmå oss, tillsammans hjälp från regeln på grund av multiplikation från bråktal, nedteckna angående som
$$\left ( \frac{2x}{3} \right )^3= \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3= \frac{(2x)^3}{3^3}$$
Vi förmå gå vidare för att förenkla uttrycket, dock nöjer oss därför denna plats samt konstaterar för att oss kunna nedteckna ifall enstaka potens från ett kvot i enlighet med nästa generella team (så länge \(b ≠ 0\)):
$$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$$
Potenser tillsammans negativa exponenter
Om oss besitter bråket
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}$$
och önskar förenkla detta, får oss genom regeln på grund av division från potenser tillsammans gemensam bas att
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}={4}^{{}^{2-4}}={4}^{{}^{-2}}$$
Vi är kapabel även titta detta som
$$\frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}=\frac{4\cdot 4}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
Det denna plats innebär för att nästa samband gäller:
$${4}^{{}^{-2}}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
I detta allmänna fallet förmå oss notera detta som
$$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$$
där \(a ≠ 0\).
Potenser tillsammans med exponenten noll
Vi vet att
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}={5}^{{}^{3-3}}={5}^{{}^{0}} $$
Men oss vet även att
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}=1$$
Alltså måste detta innebära att
$$ {5}^{{}^{0}}=1$$
Allmänt blir detta
$$ {a}^{0}=1$$
$$a\neq 0$$
och tillsammans mening för att ifall exponenten existerar noll existerar potensen lika tillsammans med \(1\).
Potenslagar
Nu äger oss gått igenom en antal generella regler liksom gäller då oss beräknar tillsammans potenser, vilket oss kallar potenslagarna.
Låt oss summera vilket oss kommit fram mot hittills:
Räkneordning tillsammans potenser
Som oss nämnde inom start från detta denna plats kapitlet, påverkas räkneordningen av angående en formulering innehåller potenser.
Prioriteringsreglerna (räkneordningen) tillsammans potenser inkluderade, lyder nu:
- Parenteser
- Potenser
- Multiplikation samt division
- Addition samt subtraktion
Har oss mot modell nästa uttryck
$$2 \cdot (3-2^3)+\frac{4}{2}$$
så kalkylerar oss inledningsvis uttrycket inom parentesen, sedan potenser, därefter multiplikation samt division, samt senaste addition samt subtraktion.
Att beräkna enstaka parentes innebär för att oss tillämpar räkneordningen vid parentesuttrycket separat:
$$(3-2^3)=(3-8)=(-5)$$
När oss idag existerar klara tillsammans med för att beräkna uttrycket inom parentesen, ser oss för att detta återstående uttrycket ej innehåller några fler parenteser samt ej heller några potenser, således oss tar oss an multiplikation samt division härnäst:
$$2\cdot (-5) +\frac{4}{2}=(-10)+2$$
I sista steget genomför oss den återstående additionen samt får
$$-10+2=-8$$